Ta có thể sử dụng các kết quả ở trên về sự hội tụ của các dãy tổng riêng của một chuỗi vô hạn và áp dụng chúng với sự hội tụ của chính chuỗi vô hạn đó. Dấu hiệu tiêu chuẩn hội tụ Cauchy là một áp dụng như vậy. Với một dãy thực bất kỳ a k {\displaystyle a_{k}} , các kết quả ở trên về sự hội tụ suy ra rằng chuỗi vô hạn

∑ k = 1 ∞ a k {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}

hội tụ khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} tồn tại một số tự nhiên N, sao cho

m ≥ n ≥ N dẫn đến

| s m − s n | = | ∑ k = n + 1 m a k | < ε {\displaystyle |s_{m}-s_{n}|=\left|\sum _{k=n+1}^{m}a_{k}\right|<\varepsilon } [4]

Có thể nói điều lý thú nhất của định lý này là điều kiện Cauchy dẫn đến sự tồn tại của giới hạn: điều này thật vậy liên quan đến sự đầy đủ của trục số thực. Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy có thể được tổng quát hóa với nhiều trường hợp khác mà có thể tóm tắt là ở đó "điều kiện sự dần gần nhau tương đương với sự hội tụ".[5]

Bài viết này có sử dụng tài liệu từ Cauchy criterion for convergence tại PlanetMath, với giấy phép sử dụng Creative Commons Attribution/Share-Alike License.